Fungsi Kuadrat dan grafiknya

Fungsi Dan Grafik Kuadrat

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaaan kuadrat.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

 ax2 + bx + c = 0

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

f(x) = ax2 + bx + c

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta .

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

y = ax2 + bx + c

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Jenis-Jenis Fungsi Kuadrat

1. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi:

    y = ax2

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki nilai puncak di titik (0,0)

2. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk:

    y = ax2 + c

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki titik puncak di (0,c)

3. Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi:

     y = a(x – h)2 + k

dengan hubungan a, b, dan c dengan h, k adalah sebagai berikut:

Fungsi kuadrat dapat dibentuk dari beberapa komponen seperti berikut:

1. Jika diketahui suatu fungsi kuadrat memiliki titik balik (p, q) maka dapat diperoleh persamaan parabola:

2. Jika diketahui dua titik potong fungsi terhadap sumbu X di (x₁, 0) dan (x₂, 0) maka dapat diperoleh persamaan parabola:

3. Jika diketahui fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di (p, 0) maka dapat diperoleh persamaan parabola:

4. Jika diketahui fungsi kuadrat melewati tiga titik sembarang maka dapat diperoleh persamaan parabola:

di mana nilai a, b, dan c dapat ditentukan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

GRAFIK FUNGSI 

Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan:

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).
2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).

Nilai a (koefisien dari x2) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai a:

1. Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.
2. Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Gambaran umum Grafik fungsi kuadrat jika dilihat dari nilai a dan D

 Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0).
3. Menentukan sumbu simetri .
4. Menentukan titik puncak (, ) atau hitung nilai puncak y menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 ke dalam persamaan f(x).
Empat langkah diatas sudah dapat digunakan untuk menggambar grafik persamaan kuadrat, jika perlu bisa menambahkan beberapa titik koordinat bantu.
CONTOH SOAL :
1. Grafik fungsi y = x2 - 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika . . . .
Pembahasan:
Fungsi y = x2 - 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = -4, dan c = a memotong sumbu X di dua titik. Berarti kemungkinannya:
1) Tidak memotong memotong sama sekali => D < 0
2) Menyinggung sumbu X => D = 0
Sehingga syarat yang dipenuhi adalah D ≤ 0
⇔ b2 - 4ac ≤ 0
⇔ (-4)2 - 4(1)(a) ≤ 0
⇔ 16 - 4a ≤ 0
⇔ 16 ≤ 4a
⇔ 4 ≤ a
⇔ a  ≥ 4
2. Jika gambar di bawah ini adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-2,0) dan melalui titik (0,-4) maka nilai f(-5) adalah …

Jawab:
Diketahui titik puncak ( xp , yp) = (-2,0), melewati titik (x , y) = (0,-4)
Rumus yang sesuai jika diketahui titik puncaknya adalah:
y = f(x) = a(x-xp )2 + yp
Untuk mencari nilai a, maka:
y = f(x) = a(x-xp)2 + yp
y = a(x+2)2 + 0
-4 = a(0+2)2 + 0
-4 = 4a
a = -1
Sehingga akan diperoleh:
f(x) = -(x + 2)2, dengan f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)2 = -9